Не должен он просить обновлять браузеры (Хром точно нет), насчет Edge - 1% из 100.
Но в чем проблема - обновите.
Сохранение данных не проблема.
Edge - https://remontka.pro/edge-bookmarks-import-export/
Хром - https://g-chrome.info/download-install/sposoby-pereustanovit
Визуал точно с оф сайта - дайте ссылку